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中图分类号：C935

A NeW NetWork Algorithm of BANT—PERT

——A1so t0 Demonstrate the

Chief Insufficiencies in Traditional PERT

Abstract：In this paper，the insufficiencies in traditional PERT is demonstrated，and a new network algorithm of BANT—PERT is given

keywords：attainable probability of event；attainable probability 0f activity；system float

　单、双代号网络计划算法的逆向程序，本质上是数学上的逆向反演．文献[1]和文献[2]揭示和证明了这一原则性错误.本文将这种网络算法具有逆向程序的网络计划称为传统网络．国内外目前现行的PERT属于传统网络计划．

　 1. 事件实现概率的算法

　 1.l 传统PERT的两种算法

　本文的数学符号均以国家标准《网络计划技术》[3]为准，如有不同者，本文均作了相应的说明．传统 PERT计算的是某一事件(节点)完成的可能性，称为事件实现概率．

　计算事件实现概率，要先计算出概率因子，然后依据概率因子的值查正态分布表确定事件实现概率．传统PERT关于概率因子的计算方法有两种：

　 (1)算法I[4～6]：

　 (1)

　在式(1)中：Z_j为概率因子；PT_j为事件实现的规定时间；ET_j为节点最早时间； (ET_j)为节点最早时间标准差．

　 (2)算法II[7]

　 (2)

　在式(2)中：SL_j为节点时差；LT_j为节点最迟必须时间(1atest must event time)； (SL_j)为节点时差标准差；分别为节点最早时问方差和节点最迟必须时间方差

　 1．2 对传统PERT两种算法的评价

　算法I是PERT的创始人(Malcolm等)提出的最早方法，是传统PERT的经典算法。引入网络系统外的由人规定的时间参数PTj作为计算概率因子Zj，的关键时间参数是算法I的主要特点。但是由于算法I不考虑网络系统(亦即不考虑最迟必须完成时间)对节点时差的影响，故算法1不存在传统网络算法逆向程序造成的错误．但是，反映不出系统要素之间相互联系与相互制约的关系，反映不出事件实现概率与网络系统之间的内在联系，这是算法I存在的重大缺陷。

　算法Ⅱ是在算法I研究成果的基础上，应用网络系统的时间参数来描述事件实现概率的。在算法Ⅱ中，将节点在时间上的变动范围称为节点时差SL_j．节点时差SL_j，本质上是网络节点j沿数轴(本文称为 Time轴)方向可以移动的机动时间(或称松驰时间)．算法Ⅱ以节点时差计算概率因子Z_j，这是一个新的思维．因此，式2对PERT的研究具有重要的理论意义, 算法Ⅱ从网络系统的深层结构研究事件实现概率，较算法I具有先进性．

　应当指出，算法Ⅱ中的节点最迟必须时间(LT_j=LF_j)是按传统网络算的逆向程序计算，因此，算法Ⅱ存在传统网络算法逆向程序造成的错误．

　 1．3 传统PERT关于事件实现概率算法的局限性

　 (1)关于SL_j＝SF_j的证明

　在网络计划中，事件通常称为节点，节点时差就是事件时差(event float)·BANT网络是一种网络算法没有逆向程序的新的网络计划技术．文献[8]在BANT网络中，SFj称为元素关联时差·文献[9](system float)这里的元素就是工作或活动．本节将证明节点时差就是元素关联时差·

　在网络系统中，若一个元素i优先于另一个元素，表示为i《j，称为i《j元素耦合关联·这里的i、j为元素的编号，且i小于j；符号“《”表示元素i和j之间的逻辑关系即先后顺序联系·在i《j元素耦合关联中,i称为前导元素，j称为继前元素，且二者之间构成前导、继前元素的“对子”关系·文献[10]用i<j表示紧前、紧后元素之间的逻辑关系．i<j可视为i<j/i《j元素耦合关联的简写，这里，i称为紧前元素，j称为紧后元素，i和j之间构成紧前、紧后元素耦合关联，通常称为i<j结构·图1是用BANT时标网络的图解方式表示的i<j结构，这样的图称为图解图．依据i<j结构的图解图，可以写出下面一组数学关系式：

LF=EF+AFF(3)

LS=LF一D(4)

LT=LF(5)

LF= ES(6)

　在(3)～(6)式中，LF称为元素最迟完成时间(1atest finish time)；Ls研称为元最迟开始时间(1atest start time)；LT称为节点最迟时间(latest event time)．这三个时间参数统称为最迟时态时间参数，这是作者在单、双代号网络最早时态参数(即ES、EF。及ET，)和最迟必须时态参数(即LS、LF及LT，)基础上引入的一组新的时间参数．

　顺便说明，式(3)中的AFF就是单、双代号网络中的自由时差·自由时差有两个物理含义：第一，元素i自身拥有的机动时间；第二，它表示该机动时间的使用方式，即是用来延迟元素完工的时间(参见图1)，故本文称AFF为元素完工时差·

　 ET=ES，LT=LF(7)

　 ET=LT

　依据式(2)和式(7)有：

　 SL=LT-LT=LF-LF(8)

　依据文献有LF=EF+AFF+SF并代入式（8），且依据式（3）有：

　 SL=EF+AFF+SF-LF=LF+SF-LF=SF

　即是：SL=SF|i《j(9)

　在式（9）中，SL为节点时差，

　 SF为（节点j处的）元素时差.

　 (2）传统PERT关于事件实现概率算法的局限性图1I<j结构图解

　依据图2，本文讨论事件实现概率的局限性.

　图2中的表示在节点j处LF/i=LF/i=LF/i特性的元素集合·图2中的DF/<i>=DFi(以下类推)·据图2，可得到信息参数的一般数学关系式：

　 DF/<I>k=ES-DFF|i《k(10)

　在式（1）中，因为FT=LT（式（7）），而LT=LF，故有：

　 Z=（11）

　在式(11)中，LF是节点j处各元素的最迟完成时间，而(PT-LF)描述节点j处的全部元素在节点 j规定完成时刻限定下实现的效果，而不是每一个元素的实现效果．可以认为，方法I计算的是节点j处关键元素(ET=LT= LF= ER)的概率因子(参见图2)．

　依据式(9)有：

Z ==（12）

　 (a)i为节点j处的元素(b){i}为节点j处的元素集合

图2<j结构的图解图

文献[9]给出了关联时差的数学表达式：

SF=min∑DF／<i>j+∑AFF|i《j∈P／jxEnd(13)

　式(13)表明，元素关联时差SF是元素可以利用的网络系统所拥有的机动时间．于是，可以知道，在式(12)中，SL是节点j处各元素均可以利用的网络系统所拥有的机动时间．节点j处的元素有关键元素和非关键元素．据式(12)可以认为，方法II是用节点处关键元素可以利用的SL值来计算概率因子的(参见图2)．

综上所述，传统PERT的算示存在以下主要问题：

1)在传统PERT的算法中，存在传统网络算法逆向程序造成的系统结构不相容的错误．

2)传统PERT计算的事件实现概率，本质上是节点j处关键元素的实现概率．事件实现概率不能反映节点处非关键元素的实现概率，这是事件实现概率的局限性，也即是传统PERT算法的一个不足之处．

　 2.BANT—PERT的创新算法

　文献[9]给出了BANT网络关于总时差的一个数学关系式：

ATF-AFF+SF(14)

　在式(14)中，ATF称为总完工时差；AFF为完工时差；SF为关联时差．

　自由时差FF是元素(工作，活动)自身所拥有的机动时间，将该机动时间全部用作延迟元素完工的时间称为完工时差．同样，总时差TF是元素可以利用的全部机动时间，将该机动时间全部用作延迟元素完工的时间称为总完工时差．可见，时差是关于元素可以应用的机动时间及其应用方式的概念．在继承传统 PERT全部研究成果的基础上，本文提出了用总完工时差来描述工作实现概率，这就是BANT—PERT的算法．这一算法的核心数学关系式为：

　 Z=(15)

　将式(14)代入，遂有：

　 Z=(16)

　在式(16)中，Z称为工作概率因子．顺便述及，在BANT-PERT中，将传统PERT中的概率因子称为节点概率因子．

　对式(16)作如下讨论：

　 (1)当AFF =0时，据式(16)有：

　 Z ＝I《jP/jxEnd(17)

　在BANT网络中，式(17)中的P／JxEnd称为关联计算线路段，这里j是节点的编号(同时又是前导元素i(i《j》的继前元素的编号)；X为路标元素(的编号)；End为终点节点．在式(17)中，（ET）=（）+（LT）称为节点最迟必须时间标准差． (LT)=()+（）＋…＋（），这里，，， …，为关键关联计算线路段上元素i的所有后续元素的工作时间标准差．